Mazin

诚如HPM所主张，数学史的确值得引进数学课堂之中，尽管它『如何』有助于教师教学与学生学习，仍然众说纷纭，见仁见智。所谓HPM是指数学史与数学教学的关联之国际研究群（International Study Group on the Relations between the History and Pedagogy of Mathematics），它隶属于国际数学教育委员会（ICMI, International Commission on Mathematics Education），专门推动数学史在数学教育上的应用工作。正因为如此，在数学课堂上运用数学史，就成了HPM成员十分关注的目标了。

根据多年来在很多场合——包括台湾师大数学系所『数学史』课程、数学教师暑期进修班、数学教师短期讲习班，以及应邀为初、高中数学教师演讲 — 讨论HPM课题时，笔者总是再三强调在课堂上，教师运用数学史至少可以分成三个层次：

1. 说故事，对学生的人格成长会有启发作用；
2. 在历史的脉络中比较数学家所提供的不同方法，拓宽学生的视野，培养全方位的认知能力与思考弹性；
3. 从历史的角度注入数学知识活动的文化意义，在数学教育过程中实践多元文化关怀的理想。

至于运用之妙，当然存乎教师个人的慧心了。不过，笔者也一直被要求针对这些HPM课题，提供模板或手册。本文之作，用在抛砖引玉，读者万勿照本宣科才是。

关于第一层次，很多人直觉地认为“数学史”就等于数学故事。不错，教师说说故事提振学生的上课情绪，尤其是在夏日午后正好眠时，数学家或数学界的遗闻轶事，大概都可以达到提神醒脑的作用。在台湾师大就读时曾修过“数学史”课程的教师，都一再向笔者表示她（他）们的学生实在太爱听故事了，简直叫人穷于应付。事实上，数学家故事对学生的人格鼓舞与启发尤其值得我们重视。譬如说吧，十八世纪法国女数学家苏菲·姬曼（Sophie Germain，1776-1831），就是受到阿基米得（Archimedes）故事的“煽动”，迷上数学而终生无怨无悔。她童年时正值法国大革命发生，为了排遣难耐的 孤独与寂寞，遂被数学史家莫度西亚（J. E.Montucia）的《数学史》所记载的阿基米得传奇所吸引。相传阿基米得正沈醉在一道几何问题时，对已经陷城的罗马士兵浑然未觉，就莫名其妙被杀死了。这个悲剧让百无聊赖的苏菲神醉心痴，她想几何学若真有这种魅力，那真地值得探索一番了。于是，她终于走上数学研究的不归路了。

让我们再提供另一个女数学家的故事。十九世纪俄国女数学家桑雅·卡巴列夫斯基（Sonya Kovalevsky，1850-1891），多才多艺、文理兼美，在数学上她固然成就非凡，而在十九世纪俄国文坛杜斯妥也夫司基、普希金等大师辈出的年代里，在文学方面她也著作甚丰，颇富盛名，真是让我们见识到数学家甚少为人所知的一面。同时，她双方面的成就也告诉我们：原来数学研究与文学想象力并不相悖，而是正好可以相辅相 成。事实上，正如桑雅的伟大师傅卡尔 外尔斯特拉斯（Karl Weierstrass, 1815-1897）的洞见：“杰出的数学家不可能不是心灵上的诗人”，数学与文学一样，它是一门需要大量想象力的学问。针对她自己在数学与文学之间的随意转换，桑雅的自白是很值得转述的：对我来说，诗人只是感知了一般人所没有感知到的东西，他们看得也比一般人深。其实数学家所作的不也是同样的事吗？就我自己来说吧!我这一辈子始终无法决定到底哪个偏好较大些，是数学呢？还是文学？只要我的心智逐渐为纯抽象的玄思所苦，我的大脑就会立即偏向人生经验的省察，偏向一些美好的文艺作品；反之，当生活中的每一样事开始令我感到无聊且提不起劲来时，只有科学上那些永恒不朽的律则才能吸引的兴致。

至于这个故事应该如何“改编”，有请各自随意斟酌。无论如何，这是一个具有多方面启发性的数学家故事（哪几个方面？），值得喜欢说故事的教师善加利用。

就『说故事』的实施来说，教师有没有一点从容的心情或“雅兴”，绝对是主要关键。也就是说，教师只要平时喜欢阅读数学家传记，然后在课堂上多加练习，久而久之大概就可以出口成章了。这种“雅兴”严格说来无关数学或数学史“素养”！然而，如果我们希望教师在课堂上运用数学史时可以提升到第二层次，那么，她（他）们拥有一点数学史的专业修养，就变得不可或缺了。

笔者身为专业数学史家，为了强调上述这种HPM的特殊关怀不是所谓的“老王卖瓜”，在很多场合演讲时，笔者总喜欢以勾股定理的三个证法为例，来说明数学原典（或文本text）上的记载，对学生的人格熏陶、认知启发以及（多元）文化关怀，如何可以带来深刻的影响。按照历史顺序，第一个方法当然必须是古希腊欧基里得 （Euclid）《几何原本》（The Elements）第一册命题47，这即是所谓的“面积证法”，至于笔者所选择的版本，则是徐光启、利玛窦（Matteo Ricci）所翻译、出版的明刊本（1607年）。第二个是古中国三国时代赵爽批注《周髀算经》所提供的“弦图证法”。第三个证法也出自《几何原本》，是该书第六册命题31。根据Proclus的说法，这才是欧基里得的原创性贡献，由于它是关于相似形的定理（事实上，第六册讨论的题材都是相似形），它的证法也因此运用了相似三角形的比例性质，于是被称为“比例证法”。我们提供的图形也是出自前述的明刊本。

在简介了这三种证法之后，笔者通常会要求听众（教师或学生）表态，请她（他）们挑选一个最爱。结果，听众大都会表示最喜欢第二个证法，因为它比较直观 — 事实的确如此，但也可能是由于文化的亲和力使然。接着，笔者会说明“数学证明”（mathematical proof）的功能，及其在教学、学习上应该扮演的角色。在这个前提下，笔者进一步督促听众“对比”这三个证法之间的异同，并强调它们在认知启发上的重要性。

我们相信如果教师善用这种教学策略，学生一定有机会培养全方位的认识能力与思考弹性。至于真正的成效如何，当然还有待教育研究。不过，教师要想进行实验，则起码的数学文本解读以及比较史学的初步修养，都是必要的数学史功夫，千万马虎不得。

另一方面，在第二个层次时，笔者已经刻意地鼓励学生针对数学知识进行反省。一旦她（他）们认为数学除了可以而且必须“做（或学着‘做’）”之外，原来也可以“鉴赏”！如此一来，教师或学生或有可能逐渐体会：数学是某脉络中的一种知识活动（mathematics in context），亦即它也拥有丰富的历史文化向度（或维度 dimension）。所以，学会了数学，不仅我们的生活经验得以强化，同时，我们的文明品味也得以提升——尤其，我们也可以在这样的教学设计中，分享世纪末最令人瞩目的“多元文化关怀”。如果教师有机会与学生分享数学的文化意义，那么，HPM的最终关怀乃至于数学教育的理想，也一定可以实现。这也正是我们上文所说的数学史运用的第三层次。有关这一方面的课题，我们可以论述得更深入一点，不过，这立刻会涉及更专门的数学文化史（cultural history of mathematics）或数学社会史（social history of mathematics），且让我们以后再一一深入说明。

参考文献

1. Fauvel, John and Jan van Maanen, “The Role of the History of Mathematics in the Teaching and Learning of athematics: Discussion Document for an ICMI Study (1997-2000),” Mathematics in School 26 (3): 10-11.
2. Furinghetti, Fulvia, “History of Mathematics, Mathematics Education, School Practice: Case Studies in Linking Different Domains,” For the Learning of Mathematics 17 (1) (February 1997): 55-61.
3. Kool, M., “Dust Clouds from the Sixteenth Century,” The Mathematics Gazette 76 (475): 90-96.
4. Osen, Lynn, 【女数学家列传】（彭婉如、洪万生中译），九章出版社，1998。