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HPM随笔（二）： 数学史与数学的教与学

诚如大家所熟悉，HPM作为国际数学教育委员会（ICMI）的一个研究群，它的组成动机完全出自对于数学的教与学之强烈关怀，因此，它的主要目的在于将数学「教好」或「学好」，而不是让教师或学生去直接去教或学「数学史」，除非课堂中的「数学史」活动，可以切实地提升数学教育的成效。当然，如果因此导致教师或学生对「数学史」如醉如痴，那么，她（他）们最终一定可以体会「数学史」乃是数学有机体不可分割的一部份，从而为数学的教与学赋予更深刻的意义。

无论教师与学生如何对待「数学史」，要想在以专业技术知识（technical knowlledge）讲授为主的数学教室中，为它寻找一个具有正当性的「位置」，则数学史如何「融入」数学课程（包括教材）及其教学活动之中，显然是HPM成立二十几年来所面临的最重大课题了。

为此，ICMI特别支持赞助HPM编撰ICMI Study Book一书（预定明年出版），以便推动整合HPM的相关学术与教育资源，深化HPM在国际数学教育界中的意义与重要性。现在，谨就我所参与的两个相关的小组WGA2及WGB2之报告初稿，摘录一些针对数学史「融入」数学教室的know-how，愿与国内数学教育专家及数学教师分享，尤盼大家集思广益，提出具有本土自主意识的批判观点与意见。

上述WGA2的主题是『数学史融入数学教室之方式的解析性综述』（Analytical Survey of Ways of Integrating History of Mathematics in the Classroom）， 初稿由以色列的Abraham Arcavi与希腊的Costas Tzanakis负责，将我们小组在马赛讨论过的观点与材料综合成编，再分送小组成员审定。目前全篇大致底定，其论述基础是我们共同讨论出来的一个架构，底下就针对它，做一些必要的说明。

首先，请特别注意此一架构的主体是最底层的「教室中的教与学」（Classroom Teaching / Learning），也就是它的其它支架或成分都是为这主体服务。至于(a)、(b)项所分布的支架，可以说是数学史学范围的工作（Primary and Secondary Source Materials），而(c)项这个支架，则是我们平常所熟悉的教学材料（Didactic Source Materials），只不过它已经受到数学史的启发而被「渗透」了（Presentation inspired by History）。

这两个支架的实质内容以及它们的结合，一起汇入底层，共同撑起「教与学」的主体。事实上，教与学的实施结果，也一定反过来回馈(a)与(b)的数学史学支架以及(c)项教学材料支架。譬如，我们常常可以发现孩童的学习特色或困扰，对数学史家的问题意识极具启发性。另一方面，教师的实务经验，当然也一定会敦促教师对教材选择及教学方式进行反省，盖「教学相长」故也。

现在，让我们介绍数学史「融入」数学教室的一些know-how，供有心采用的教师参考：

1. 历史「花絮」（snippets），譬如数学家的遗闻轶事、数学问题的起源以及古今方法的简单对比等等；
2. 学生以历史文献为本的研究项目（project work），譬如下列专题『一次方程 式：历史的回顾』、『任意角三等分』、『何谓代数学？』以及『欧几里得 vs. 刘 徽』等等，都可以让学生组成小组，写出项目研究报告；
3. 数学史的原始文献（primary sources），譬如【几何原本】与【九章算术】的研读与讨论等等；
4. 练习题（worksheets），其设计通常围绕着简短的历史选粹（historical extracts），伴随着历史背景的说明，再辅以了解数学知识内容的问题、所涉数学议题的讨论、今昔解法或处理的比较，以及这些选粹中的题解（solving problems）或它们所引发的类似题解；
5. 可立即供2-3堂课使用的「历史套装」（historical packages），譬如『古代数码与数系』，『古埃及算术』，『 与圆周长』，『巴比伦的二次方程解法』以及『九章算术的分数计算』等等；
6. 恰当地使用历史上出现的谬误（errors）、另类概念（alternative conceptions）、观点的改变（change of perspective）、隐含假设的修订 （revision of implicit assumptions）以及直观论证（intuitive arguments）等等；
7. 历史上的问题，譬如古希腊三大作图题，Goldbach猜测，不同文明所提供的毕氏定理证明，以及引出解析数论的质数定理等等；
8. 历史上曾经出现的画图工具（mechanical instruments）；
9. 回到过去的数学实验活动，譬如使用古代的记号、方法及论证，来学习数学；
10. 编剧本，譬如『柏拉图 vs. 孔子』、『欧几里得 vs. 刘徽』及『伽罗瓦的悲剧一生』等等；
11. 电影及其它视觉工具，譬如英国空中大学（Open University）所发行的数学史教学影片等等；
12. 户外数学古迹的教学活动；
13. WWW网络的使用。

以上这些 know-how 的例证无法在此细说，不过，我们会陆续利用本刊做比较详尽的介绍。我们也希望发展更多的例证，来丰富或增添上述 know-how的内容。有志之士，盍兴乎来！