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HPM随笔（三）：数学哲学与数学史

「数学哲学」（philosophy of mathematics）当然与「数学史」（history of mathematics）有关！它们的关联受到瞩目，大概可以追朔到七十年代。当时数学哲学家Imre Lakatos追随Karl Popper，开始注意到被逻辑实证论（logical positivism）所忽略的「发现的脉络」（context of discovery）对知识成长的重要性，遂将数学史结合到数学哲学的研究之中。此外，Lakatos也十分关心数学教育，他希望数学史融入数学哲学所引出的「拟经验论」（quasi-empiricism）观点，最终可以对数学教育作出贡献。

首先，且让我们就「数学哲学」与「数学史」各自的学术目的来讨论。为了达到此一目的，学术研究的对象与方法，就会逐渐地形成它们的独特性，也因而划定了该学门的边界。这种「各自为政」的状态，当然也成就了各自学门的自主性（autonomy），从而为各自学门的知识本位（knowledge status / claim）订下了互异的规范。譬如数学与物理学的边界十分清楚，所以，「数学真理」（mathematical truth）与「物理真理」（physical truth）当然不同，而区别它们的的方法自然也就容易被凸显出来了。于是，利用方法论的判准来划分学门的边界，就被认为是一种极自然的考虑。譬如说吧，逻辑实证论者，就将非形而上的知识分成经验的（empirical）与形式的（formal），前者包括了科学（自然的与社会的）与人文学，后者则包括了数学与逻辑。对它们而言，数学与物理学当然不同，因为在「核证的脉络」（context of justification）中，前者所使用的方法 — 依据假设的一种演绎过程，就不同于后者之仰赖观察、实验等经验手段。不过，这种分类法则目前已经受到很大的质疑。在数学的知识活动中，或许它的「发生」（genesis）过程所蕴含的动态面向与经验成分，也会影响它的知识本位，职是之故，拟经验论者如Lakatos所开出数学知识之经验关怀，其中企图含摄数学知识的演化过程（亦即数学史之关怀所在），当然很容易理解了。

然而，照传统的知识分类来说，历史与哲学毕竟不同。如何面对哲学本体论问题受到它的历史演化因素的渗透，比方数学物元（mathematical entities or objects）如函数（function） 的本质，大概是纯哲学研究再也无法回避的问题了。或许这也促成Lakatos改写康德（I. Kant）并广被传颂的一句话：「数学史一旦缺少了哲学的引导，便是盲目的；至于数学哲学，要是对数学史中最引人遐思的现象不理不睬，那么，它便是空洞的。」（the history of mathematics, lacking the guidance of philosophy has become blind, while the philosophy of mathematics turning its back on the most intriguing phenomena in the history of mathematics, has become empty.）[引自 Ernest 1991, pp. 24-25] 基于这种历史关怀，我们可以对照数学哲学的传统问题。严格来说，它是传统知识论（epistemology）的特例，主要关怀下列问题：数学知识的基础何在？数学真理的本质为何？又是哪些条件刻划了数学真理？它们的结论之核证又是什么？数学真理何以是必然的真理（necessary truth）?[Ernest 1991, p. 3] 现在，如果要在数学哲学问题讨论中为数学史留下一个位置，那么，问题意识或许可以指向：

（1）数学知识：它的本质，核证与发生（genesis）
（2）数学物元或对象：它的本质与起源（origin）
（3）数学的应用：它在科学，技术与其它领域中的效用（effectiveness）
（4）数学的实际运作（mathematical practice）：数学家的知识活动，包括现在与过去。[Ernest 1991, p. 27]

Ernest 利用以上述判准，来映照数学哲学中的学派如逻辑学派，直观学派，形式学派，柏拉图主义（Platonism，代表人物如Frege），约定主义（conventionism，代表人物如 Wittgenstein），（朴素）经验论（”naive” empiricism，如Mill）以及拟经验论，一一检视它们各自主张及论述的不足[Ernest 1991, pp. 23-24]，接着，他针对社会建构主义（social constructivism）作为一种新的数学哲学之可能性，提出深入的讨论，尤其着重相关的主观知识（subjective knowledge）与客观知识（objective knowledge）之反省。最后，Ernest结合了数学史，数学社会学与数学心理学，提出数学的社会建构主义式之后设理论（social consturctivist meta-theory of mathematics），来取代传统的数学哲学。[Ernest 1991, pp. 42-108]

关于Ernest (1991)一书中的相关讨论，我们希望将来提供专文讨论。在此只想指出，不管是拟经验论也好，社会建构主义也好，乃至于数学的社会建构式之后设理论，都十分强调数学知识的经验成分，也因此，数学史对这些新的数学哲学主张之论述，乃成为不可或缺。

数学知识活动固然有哲学问题，当然也有历史问题，它贯穿了知识演化的纵轴。这也就是说，历史一定跟时间有关，它用一个时间的维度，将这些知识活动填进去。从传统的知识论观点来看，数学知识是永恒不变（eternal or timeless）的东西，它在宇宙诞生时也就被创造好摆在那儿，然后就等着我们去发现。因此，如果历史知识是关于变化（change）的一种学问，那么，数学史所为何事，就很值得我们推敲了，因为数学知识要是与时间无关，那么，它的本质自然就没有历史问题了。如此一来，数学史的研究，比如研究函数的历史，首要任务无非是确立函数的定义（definition），以便说服我们自己『它』的确贴近函数（概念）的本质，然后，以此种终极关怀为唯一目的，历史上凡是朝此一方向前进的数学研究成果，就都是函数史（the history of function）的恰当内容。于是，数学史就变成揭示造物主伟大 — 因为祂创造了伟大的数学 — 的一项神圣『理性重建』（rational reconstruction）工程了。从而，数学史研究就沦落成为数学大师造庙的一种学术活动，主要任务莫非是为那些大师的经典作脚注。

当然，从这样的观点来看，数学史的研究也算是对数学知识活动的一种意义赋予（sense making）。不过，在这种情况下，「数学」与「数学史」这两者的知识活动好像没有太大的差别，它们都是目的论式的揭示（teleological revealation），亦即它们都亦步亦趋地走向造物主所规划好的最后真理之途径上。数学史家想要从这样的先天设限中解放出来，必须面对柏拉图（Plato）对数学所做的先天设限，然后在学习如何去问恰当的历史问题。

根据柏拉图的看法，数学知识是存在于理想世界（ideal world）的一些「形式」（form）或「理念」（idea），譬如三角形就是一个形式，它在吾人的肉体所生存的物质世界（material world）是没有指涉物或参考物（referent）的，亦即一块三角形状的饼干并不是『三角形』所指涉的物质（referred matter）。基于此一假设，学习当然是一个「再发现」（re-discovery）的过程。说得更明确一点，柏拉图认为吾人生而有知，学习是一个吾人的灵魂（soul）唤醒或收集（recollect）本有记忆（memory）的过程。柏拉图曾安排苏格拉底（Socrates）与米诺（Meno）家一位奴隶男孩的对话，以「求作一个正方形使其面积是已知正方形面积的两倍」为例，说明未受过教育的男孩可不学而能，至于教师（苏格拉底）的角色，则只是引导或启发而已。（参见柏拉图的对话录【米诺】（Meno））在此一脉络中，柏拉图显然呼应了苏格拉底的产婆式教学法，产婆（比喻教师）只是协助产妇（比喻学生）生出婴儿（知识），她并不是知识的传送者。

不过，如何唤醒孩童本有的知识，柏拉图并没有提供可行的方法。诚然，数学的训练，无非是协助吾人摆脱物质世界的纠缠，而将灵魂或心灵（mind） （对柏拉图而言，这两个名词通用）提升到理想世界，去把握永恒不变的形式或理念。然而，如何达到此一目的，柏拉图并没有提供任何经验手段。相对地，亚里斯多德就务实多了，他认为吾人经验可及的一块三角形饼干（亦即「物质」）内蕴了三角形的「形式」，因而，吾人心灵通过与三角形饼干之类的物质之互动，应该有可能领会或理解三角形这一形式或理念的。其实，亚里士多德也认为三角形这种数学「物元」（mathematical objects）是从三角形饼干这样的「物质」抽象而来，对于「物元」与「物质」两者的关系，他尤其说得极为明白：「当我们考虑数学物元时，我们是将它们看成好像与其物质分离，虽然事实上并非如此。」[引自Heath 1980, p. 11]

上述亚里士多德的数学认识论，建立在他的本体论假设上。他认为数学知识是介于形上学（meta-physics）[或第一原理（the first principles）]与物质世界（或物理世界，physical world）之间的桥梁，换句话说，数学沟通了柏拉图的形式与物质。尽管亚里士多德将数学的本体论地位（ontological status）纾尊降贵了下来，但是数学因而可与吾人经验结合，也为凡夫俗子可以学习数学打通一条途径。从这个观点来看，欧几里得在【几何原本】第一册中为「直线」定义（Definition 4）提供工匠经验的比喻，意在模仿亚里士多德的认知方法，殆无疑问。[Heath 1956 vol. 1, p. 153] 迥异于柏拉图，亚里士多德重视物理世界及其蕴含的数学知识，大大地强调了数学知识的经验成分，同时也暗示我们在教育的过程中，学习者主体以经验手段接触客体，从而对客体所蕴藏的数学物元有所发明。换言之，对亚里士多德而言，学习比较像是一个再发明（re-inventing）的过程。这是古希腊数学哲学对于现代数学教育最有贡献的一个主张，值得我们深入研究。

从上述柏拉图与亚里士多德的对比，可见数学哲学的立场，不只影响数学知识的认知方式，同时此一立场对经验知识的重视程度，也决定了知识活动的历史面向之可能性。由此看来，亚里士多德的观点， 为数学史与数学哲学的结合，预留了比较大的空间。所以，我们必须注意：并不是所有的数学哲学立场都为数学史留下位置！如果一昧地认为数学概念是一种先验的 （先于经验，a priori）柏拉图形式（Platonic form），那么，不只是数学史的研究走不出为数学大师作脚注的窠臼，数学史与数学哲学因结合而互惠的期待，也会完全落空！尤其是今日主导数学史学的社会史取向（socio-historical approach），由于浸润了数学与社会互动的丰富面貌，也会跟那种狭隘的数学哲学论述，丝毫没有任何交集。

尽管如此，数学哲学与数学史毕竟是彼此独立的学门（discipline）， 它们各自拥有亟待完成的学术目标。而且，它们各自研究成果之深化，也一定会对数学教育研究，带来深远的影响与帮助。我们固然不能期待数学哲学家对数学史一定深情款款，同理，也不能要求数学史家必须怀抱普适的的哲学思考。如果，数学教育研究者与工作者在选择了适当的哲学立场之后，发现数学哲学与数学史的结合，是必须优先面对的问题时，那么，除了亲自『下海』去研读这两门学问的基本知识之外，大概就别无他途了。