Mazin

如果抽掉国中课本里的负数，老师们将会同意今天看来漂亮完整的公式都会显得支离破碎；不论是讨论数学里的一元二次方程式还是物理学的运动方程式，没有了负数便左支右绌，无以为继。也正因为负数大量出现在教材的各个角落，教师往往注意的是负数的运算性质，对于负数的认知却着墨无多。什么数字竟然会比0还小呢？为什么要说一个递减的等差数列有负公差呢？甚至于这个恒等式（a－b）（c－d）＝ac－ad－bc＋bd又是怎么算出来的呢？对于这一类问题，以往的观点是认为一个「会教的」数学老师「必定」可以讲得让学生明白，而「会教」的定义往往取决于脉络是否简明、合乎数学的内在架构。

两百年的困惑

18世纪法国作家Stendhal(1783-1843)对于老师「负负得正」的解释显然并不满意。他回想从前学习负数的情况： 数学是不会矫柔造作的。在我的青春岁月里，我相信那些使用数学做为工具的科学也必然同样真确；别人这么告诉我。但是当我发现没有人能解释负负得正(－×－＝＋)的原因时，你能想象我的感受吗！（而这还是所谓「代数」的一项基本规则哩。）对我来说，这个没有解释的难题真是够糟的了（它既然能导致正确的结果，无疑地也应该可以解释）。而更糟的是，有人用那些显然对自己都不清不楚的理由来对我讲解。

他的老师显然不能理解学生对于「负负得正」的抗拒，无论如何解释，总是不能让Stendhal信服；最后，只好搬出数学权威Euler(1707- 1783)与Lagrange(1736-1813)：他们知道的也不比你多多少呀，可是都用得理所当然，你又何必钻牛角尖呢？

我花了好长一段时间才知道：M. Chabert根本不曾听进我对于负负得正的抗拒，M. Dupuy则老用缥缈的微笑响应，而那些我所请教的数学专家们总是报以嘲讽。我最后告诉自己：本来就必须负负得正嘛；毕竟，这个规则已经用了这么久，而且导出的结果看来都无懈可击。

或许是后来很多场合都用得到吧！Stendhal被这个问题（负负得正）困扰许久，最后只好接受它；然而这个学习经验却使他感受深刻，一度还动摇了对于数学与数学教师的信心。

我挚爱的数学难道是个黑盒子吗？我不知道该怎么做才能到达真理；噢！那时是多么热切地想在逻辑或文艺上面吸收各种接近真理的方法啊！最终我以我可怜的、卑微的智力做出结论：M. Dupuy可能在说谎；而M. Chabert则是一个自我欺骗的可怜虫，完全不能理解旁人的抗拒心理。……我就教于d’Alembert在百科全书(Encyclopedia)中的数学文章，但他们自大的语气以及对真理的傲慢却令我排斥厌恶；而且，我对它们一点也不能了解。

从这段描述可以想见当时的Stendhal是多么渴望求得心中疑惑的解答啊。时至今日，笔者犹记得班上同学拿着「（－5）＋3」四处问人，甚至放学跑来问老师的可怜眼神；虽然做是会做了，但仍然可以感受到她的别扭与不安。时隔二百年，古今中外仍同样有孩子为了让自己接受负数的运算规则而困扰。

对于Stendhal，数学这个黑盒子确实隐藏了太多，连大数学家d’Alembert(1717-1783)都不得不拐弯抹角地陈述自己所认知的「负」概念哩 ：负量与正量对合(The negative magnitudes are the counterpart of the positive ones)。负量始于正量所止之处。参见「正」条。

人们必须承认，要正确地勾画负数(negative number)的想法并不容易；有的学者只是将他们不严密的说法加诸纷乱之上；说负数小于一无所有(negative numbers are below nothing)就如同在讲一件无法想象的事情。……

为了使牵涉负量(negative magnitude)的代数运算能够严谨与简洁，人们倾向于相信与负量有关的正确想法必须简单而且并非人造。假使人们想要展现此一真确概念，则须注意那被 称做负的、被误认为在零的那一边的量，常常是用真实量(real magnitude)表征。这里有个几何学的例子，负直线与正直线的差异在于它们相对于某共同点上已知直线的位置。参见「曲线」条。由此可见计算 (calculus)中所遇到的负数量(negative quantities)确是真实量(real magnitude)无误。但是这些真实量必须赋予一种想法以有别于被接受者，例如：我们想找一个数字x的值，使之加100等于50。根据代数规则，可以列x+100=50，得到x= －50。这表示x的量(magnitude)是50，不过对100来说是减而不是加。也就是这个问题可以重新考虑如下：找某量x使100减之剩余50。如果问题真这么写，则可列式100－x=50，x=50，x的负形式将不存在。因此，负量确实表示假设置错情境之正量。加诸量前之”－”号乃是做为消去运算 以及修正假设中错误之提醒，一如前述例题。参见「方程式」条。

请注意此处所提及的只是诸如-a或a－b(b大于a)之孤立负量(isolated negative magnitude)。如果a－b是正的，换句话说，b小于a，则符号无论如何不会产生困难。

换言之，孤立负量并不存在于真实与绝对感觉(real and absolute sense)之中；抽象来说，-3对于心灵没有意义；当我说某人给另一个人-3马克(thaler)时，才意味着他从另一个人身上拿走了3马克。……就现在的情况看来，要进一步发展这个想法是不可能的，不过这却是一个简洁得无可取代的方式；我相信，我能保证它对于所有牵涉到负量的可解问题都不会出错。

请注意d’Alembert提到「负数」与「负量」的不同态度。对他们而言，负数是一个「莫名其妙」的数，早在Pascal(1623-1662) 与Descartes(1596-1650)的时代就这么觉得了；Descartes认为负根是方程式中错误的根，而Pascal则认为要从「一无所有」 当中减去东西，更是门儿都没有！所以d’Alembert必须赋予已经展现许多用处的「负量」一些额外意义；如同他所说的，「我相信，我能保证它对于所有 牵涉到负量的可解问题都不会出错」，但他也同样认为「就现在的情况看来，要进一步发展这个想法是不可能的」。倘使一直坚持从现实量的角度去理解，Stendhal终究要遇到这个不可解的困境：

M. Chabert[被Stendhal问到]没有办法的时候，曾经不太恰当地强调，要我们将负数量看成某人的欠债。可是这个人该怎么把10000法朗的债与500法朗的债乘在一起，好得到5000000─也就是五百万法朗─的收入呢？

这，不合宜或不显明的比喻(metaphor)，或许也是我们老觉得课本上（不论哪一种版本）「负负相乘」的例题奇怪的原因吧。

另类观点

除非观点有所转变，否则似乎难有更进一步的想法出现。果然，19世纪的数学家们经由形式上的探讨，对于负数有了新的看法。以往来自量的束缚不再存在，当时H. Hankel这么写道：

要建构普适性算术的环境，必须脱离直觉，将数学当做纯粹智慧与形式的产物。它并非量与数的合成，而是具有思维特性的实体(intellectual object)；存在于现实的东西与关系对应得到，但并非必要。

从此以后，似乎再也没有必要去为数系找寻自然界的实例和比喻了；新数字不再被视为「发现」，而是被看成「发明」。这并非表示Hankel等人不关心数系与真实世界的连结，他们仍旧规定形式运算不能导致矛盾；一个免于矛盾的定义才是逻辑上可行(logically possible)的；同时，单只有逻辑上一致的规则还不够，如果不将系统内容的诠释与应用考虑在内，这些系统放在一起也是毫无意义的。透过「不变原则(principles of permanence)」，保持一些特定的规则不变，赋予适当的定义，得以建构出负数的「形式化」面貌。例如：一开始先「定义」负数－n是从方程式x＋n＝0的解而来，其中n为自然数；同时假定加法与乘法的结合律、交换律成立，分配律也成立（根据「不变原则」），于是可以进行论证。

(－3)＋3＝0
(－4)＋4＝0
∴[(－3)＋(－4)]＋[3＋4]＝0（前两式相加的结果）
∴(－3)＋(－4)＝－7（因为3＋4＝7，再套用负数的「定义」）
那么乘法是否也可以如此定义呢？从0×x＝x×0（成立）开始，
[(－3)＋3]×4＝0×4＝0，i.e. (－3)×4＋3×4＝0
[(－4)＋4]×(－3)＝0×(－3)＝0，i.e. (－3)×(－4)＋(－3)×4＝0

根据定义，可以得到(－3)×4＝－12，(－3)×(－4)＝12（似乎有负正得到负、负负得到正的影子）。当然，这些只是大概罢了，严密的论证还需要一些充份的准备。（这个时候，有没有嗅到本世纪中「新数学」运动的一点味道了呢？）

中国的负数概念又是一条不同的路。根据李继闵的说法，负数之所以很早为中算家所引进，乃是由于古代传统数学中，「算法」高度发达和筹算「机械化」的成果。刘徽在《九章算术》的注文中提到：「今两算得失相反，要令正负以明之」，所以负数在中国古代是一种与西方截然不同的概念，人们可以透过算筹的「正负术」推演解题；李继闵指出，有些题目（例如方程章第三问）要不是因为筹算的缘故，用今天的眼光看，根本不必引入「负数」就可以解出答案。

单从这些例子，我们就看到完全不同于先前具体取向的两种负数经验：一个是西方的形式主义，一个是东方的筹算文化。渐渐地，西方部份数学家还了解到，负数的「相对」意义不见得非丢开不可；几何的坐标化、向量的引介，以及负的电量、负的速度、负力……等等，往往因负数而使人类开展更广阔的思考空间。人们不再将扩充数系的「正当性」诉诸现实，而是反过来，利用数去描绘现实情境与各种量。使用负数让我们可以更有效率地解题：当代数学史家Wagenschein便说：「负数的运算法则是一种发明，但是却是一种很好用的发明」。

非结论

不管以哪一种方式看待负数，今天都会运用它做很多事。然而令人好奇的是，学习者在学习过程中究竟是采取什么样的观点面对负数呢？会像Stendhal一样 凡事去生活中找对应意义吗？还是像d’Alembert一样赋予「运算」额外的解释呢？是像刘徽一样把焦点放在「算法」上？还是像Hankel一样任由心智去建构一个理想图像呢？

对于部份数学教师而言，教完整数的加减法后，(－5)＋3这样的题目便几乎不大可能再单独出现了；负负得正的规则往往也只是一句口诀。但是对于学习者而 言，一切真有那么简单吗？也许他们的内心也正如Stendhal一样正在天人交战哩！教师是否曾经停驻自己的脚步，倾听一下学生的声音呢？当然，也许孩子们只需要一个简单有趣的「游戏规则」哩！谁知道？又是怎么知道？

无论如何，我们大可以放胆试着从历史实例中「考察认知特征」，与学生身上所「观察」到的相互「对照」；毕竟历史不应该只是供我们做为新课程的话引或课余的闲聊话题而已。德国数学家与教育家Felix Klein在1908年语重心长地告诉大家：如果我们现在带着批判的眼光去看中学里负数的教法，常常可以发现一个错误，就是像老一代数学家如上指出的那样，努力地去证明记号法则的逻辑必要性。……我反对这种做法，我请求你们别把不可能的证明讲得似乎成立。大家应该用简单的例子来使学生相信，或有可能的话，让他们自己弄清楚。

即使是近一世纪后的今天，无论是努力为学生「证明」记号法则还是努力教同学去「背」记号法则的老师，这些话都仍然受用。「会教」的老师让自己和同学们听得明白，也会让自己和同学们想得明白、满心欢喜。

参考文献

1. 李继闵(1992)：九章算术及其刘徽注研究。台北：九章出版社。
2. 郭书春汇校(1990)：九章算术。沈阳：辽宁教育出版社。
3. 赵文敏: 数学史第一卷。
4. Klein, Felix (1996): 高观点下的初等数学第一卷（舒湘芹、陈义章、杨钦梁译）。台北：九章出版社。
5. Kline, Morris (1983): 数学史上册、下册（林炎全、洪万生、杨康景松译）。台北：久章出版社。
6. Boyer, Carl B. (1985): A History of Mathematics. New Jersey: Princeton University Press.
7. Hefendehl-Hebeker, Lisa (1991): Negative Numbers: Obstacles in Their Evolution from Intuitive to Intellectual Constructs. For the Learning of Mathematics, 11, 1, 26-32.